#数学科向け数学クイズ

ビュー数5358平均正答率62.1%全問正解率15.3%

正答率などの反映は少し遅れることがあります。

1. V, Wをℝ係数の有限次元線形空間とする。 dimV=dimWならば 、VとWは同型となる。

• ×
• ◯

Vの基底を Wの基底に写す線形写像を考えると、これは同型写像となります。

2. 全ての連続関数は微分可能である。

• ×
• ◯

y=|x|を考えると、これは連続関数ですが、原点で微分可能でありません。

3. f:ℝ→ℝが一点x∈ℝで連続ならば、xのある近傍上でもfは連続となる。

• ×
• ◯

f(x)=x (x∈ℚ),-x (x∉ℚ) を考えると、この関数は原点ただ一点のみで連続となります。

4. f:ℝ→ℝがC^∞級ならば、任意の点でテイラー級数展開可能である。

• ×
• ◯

f(x)=exp(-1/(x^2)) (x≠0) ,0 (x=0) とするとこれはC^∞級ですが、原点でテイラー級数展開可能ではありません。

5. (X,𝔒)を位相空間とする。 f:(X,𝔒)→(X,𝔒) が連続かつ全単射ならばfは同相写像となる。

• ×
• ◯

X=ℝ,𝔒={(-∞,a)|a>0}∪{∅,ℝ}とし、f(x)=x-1とするとこれは連続かつ全単射ですが同相写像ではありません。

#数学科向け数学クイズ

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