数学科大学生なら解けて当然！？ #大学数学問題集

ビュー数23697平均正答率49.6%全問正解率5.4%

正答率などの反映は少し遅れることがあります。

1. lim[x→a]f(x)=bを意味するのは次のうちどれ？

• ∀ε>0,∃δ>0,s.t. |x-a|<δ⇒|f(x)-b|<ε
• ∀ε>0,∃δ>0,s.t. |x-a|<ε⇒|f(x)-b|<δ
• ∃δ>0,∀ε>0,s.t. |x-a|<δ⇒|f(x)-b|<ε

正解は「∀ε>0,∃δ>0,s.t. |x-a|<δ⇒|f(x)-b|<ε」です！

2. 次のうち正しいものはどれ？（注：この問ではベクトル空間は全てR-ベクトル空間とします）

• V={a+bx+cx^2|a,b,c∈R}は3次元のベクトル空間である
• V={(x,y,z)∈R^3|x+y+z=1}はR^3の2次元の部分空間である
• V={(x,y,z)∈R^3|x+y+z=0}はR^3の1次元の部分空間である

V={(x,y,z)∈R^3|x+y+z=0}はR^3の2次元の部分空間であり,V={(x,y,z)∈R^3|x+y+z=1}はR^3の部分空間ではない

3. 0になるものはどれ？(f,Aはそれぞれスカラー場,ベクトル場であってC^2級であるものとする。)

• div grad f
• rot rot A
• rot grad f

rot grad fとdiv rot Aは0になる

4. 次のうち正しいものはどれ？

• f(z)=exp(1/z)はz=0で極を持つ
• 正則関数fについて、C上で|f|:有界ならばfは定数関数
• ある正則関数fがあって、f(1/n)=d(n)となる。(d(n):nの正の約数の個数)

有界なら定数→リウヴィルの定理,exp(1/z)はz=0で真性特異点,f(1/n)=d(n)は一致の定理で無いことが示せる

5. 行列指数関数について正しいものはどれ？ 注：選択肢に出てくる行列A,Bは正方行列です

• 正方行列Aによっては定義できないことがある
• exp(A)exp(B)=exp(A+B)
• exp(tr A)=det(exp(A))

行列指数関数は任意の行列について定義できる。また、exp(A)exp(B)=exp(A+B)は常には成立しない。AB=BAならOK

6. 群について、正しいものはどれ？

• 位数9の群は巡回群である
• 位数6の群はアーベル群である
• 位数7の群は巡回群である

位数6:3次対称群が反例,位数9:(Z/3Z)^2が反例

7. 位相空間の基本群について正しいものはどれ？

• S^2の基本群はZ^2である。
• S^1の基本群はZである。
• S^3の基本群はZ^3である。

S^n(n≧2)の基本群は{e}です

8. 可換環Aについて間違っているものはどれ？

• ガウス整数環Z[i]はPIDである。
• I:極大イデアルについて、A/Iは体である
• UFDはPIDである

R[X,Y]はUFDだがPIDではない。(X,Y)は単項イデアルではない。

9. 可算集合ではないものはどれ？

• Map(N,N)
• N×N
• Q

|Map(N,N)|=|N^N|≧|{0,1}^N|=|P(N)|=|R|です。

10. 位相について正しくないものはどれ？

• 全単射かつ連続写像なら同相写像
• 距離化可能ならハウスドルフ
• 弧状連結なら連結

一方が連結でなかったら…

数学科大学生なら解けて当然！？ #大学数学問題集

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