実数体好きのためのクイズ #実数体クイズ

ビュー数1413平均正答率67.5%全問正解率11.2%

正答率などの反映は少し遅れることがあります。

1. 実数体 ℝ の部分空間はすべて可分である。

• ×
• ◯

一般に可分な距離空間の部分空間はすべて可分となる。

2. 順序完備な順序体はどれ？

• 超実数体*ℝ
• ℝ 上の形式ローラン級数体 ℝ((x))
• 実数体 ℝ

順序完備な順序体は実数体のみである。ローラン級数体はコーシー完備だが、順序完備ではない。

3. 実数体 ℝ と同じ濃度になりえないものはどれ？

• ℵ_ℵω(ℵω番目の無限基数)
• ℵ_2(2番目の無限基数)
• ℵ_ℵω2(ℵω2番目の無限基数)

実数体の濃度の共終数はℵ0より大きくなるので、共終数がωであるℵ_ℵω(ℵω番目の無限基数)にはなりえない。

4. ＰＦＡを仮定する。 実数体 ℝ の部分集合Ａの濃度が、ℝの濃度よりも小さいとき、Ａのルベッグ測度はどうなる？

• そのほか
• 0
• Ａのルベッグ測度はPFAを仮定しても定まらない。

ＰＦＡを仮定すると、MAが成立し、Ａのルベッグ測度は０になる。

5. 実数体 ℝ は可分だが、超実数体も同様に可分である。

• ×
• ◯

超実数体は非可算上昇列をもつので当然可分ではない。

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