微分積分から偏微分方程式まで #解析学クイズ(誤字訂正・加筆版)

ワイエルシュトラス関数または高木関数と呼ばれる関数がその例です. (例えば, 猪狩「実解析入門」または高木「定本 解析概論」参照)

ちなみに不連続関数の不定積分は存在するとは限らず, 存在してもその関数の原始関数とは限りません. (例えば, 長岡「本質の研究 数学Ⅲ＋C」,「定本 解析概論」参照)

例えば x→sin(x)/x, x→cos(x^2) など振動するがゆえ広義リーマン積分は収束するが正部分と負部分は発散する例があります. (例えば, 森「ルベーグ積分超入門」参照)

実解析的であってもDでコーシー-リーマン方程式を満たさない例とDの任意の点で偏微分可能だが連続でない点がDに存在する例が反例を与えます.

ハルトーグスの正則性定理です. ローマンの定理は１変数複素関数についての定理です. (後者は,「新版 複素解析」(基礎数学8)や(fの連続性の仮定が抜けていますが)藤岡敦さんの「具体例から学ぶ 多様体」を参照)

ハール測度は(局所コンパクト位相)群上の不変測度の例で群は距離化可能とは限りません. (小林-大島「リー群と表現論」や河添「群上の調和解析」参照. ) またジョルダン測度とはＲ^n上のn次元体積のことです.

このことは実解析的偏微分方程式論では当たり前のように使われています.

斉次ベゾフ空間とL^p空間はp＝2の場合しか一致しません. シュワルツ空間はL^p空間より狭いL^p(Ｒ^n)の稠密部分空間です. 小川「非線型発展方程式の実解析的方法」や小薗「クレイ懸賞問題 ナビエ-ストークス方程式のいま」(PDF)参照.

不正解の選択肢の二つはいずれも物理学の方程式です. (中島「非線形問題と複素幾何学」や小川「非線型発展方程式の実解析的方法」あるいは小薗-小川-三沢「これからの非線型偏微分方程式」参照)

溝畑「偏微分方程式論」;黒田「関数解析」;藤田-黒田-伊藤「関数解析」;宮寺「関数解析」に書かれていますが他に書かれてある和書は知りません. ご存知でしたら教えてください. ちなみに吉田の綴りはYosidaでありYoshidaではありません. 念のため.