整数問題が得意な人なら楽勝！？ #数学クイズ

Diophantine equation

反例:(a,b,c,d)=(1,2,2,3)ㅤなお，「a²,b²,c²≡1 (mod3)のときd²≡0 (mod3)」では不十分，実際にこれを満たす解が存在することを示していないので

5で割れる回数を考えればよく，Legendreの定理よりord_5(100!)=Σ[n=1~∞]floor(100/5^n)=floor(100/5)+floor(100/25)=20+4=24

ord_p(n!)=Σ[k=1~∞]floor(n!/p^k)<Σ[k=1~∞]n/p^k=n(1/p)/(1-(1/p))=n/(p-1)<n

Euclidの互除法そのもの

a^b-1=(a-1)(a^(b-1)+...+1)と因数分解できるのでa-1=1すなわちa=2が必要，さらにb=xyなる2以上の整数x,yの組が存在するならば2^b-1=(2^x)^y-1=(2^x-1)((2^x)^(y-1)+...+1)と因数分解できるのでbが素数であることが必要，ただし2^5-1=31は素数なのでbがMersenne素数であることは必要ではない

nの正の約数の総乗はn^(d(n)/2)に等しい(証明は割愛，d(n)は約数個数関数)ので，d(n)=14となればよい．例えばp,qを素数としてn=pq⁶はこれを満たす

x^n+y^n=z^nの両辺に(xyz)^-nをかけると(yz)^-n+(xz)^-n=(xy)^-nとなり，-nは3以上の整数であるからFermatの最終定理よりこれを満たす(xy,yz,zx)は存在しない，すなわち正整数解は存在しない

n=2のときはn-1=1なのでn≧3で考える．n-1が2で1回だけ割れるとき，ord_2(n^(n-1)-1)=ord_2(n²-1)+ord_2(n-1)-1=ord_2(n²-1)=ord_2(n+1)+1≧2．奇素因数および，n-1が2で割れる回数が2でないときのn-1の任意の素因数pに対し，ord_p(n^(n-1)-1)=2ord_p(n-1)=ord_p((n-1)²)

詳しい証明は割愛するが，まずどれか2つが等しいと仮定して矛盾を導き，次にmodqを考えることでmax{p,q,r}≠q，最後にp<q<r，r<p<qを仮定してそれぞれ矛盾を導く．pの最大性に関しては(p,q,r)=(3,2,5)が反例