可換環論○×クイズ #可換環論○×クイズ

単射M→Nに0をテンソルすると単射0→0が得られます。

k:代数閉、A=k[x]、M=⊕[a∈k]k[x]/(x-a)とするとSupp(M)=Spec(A)\{(0)}は閉ではありません。

たとえばA:整域、B:商体とすればSupp(B)=Spec(A)ですがSpec(B)→Spec(A)の像は(0)からなる一点集合なので、これらは一般に一致しません。

p∈SpecAに対してB⊗k(p)≠0を示せば良いです。m:Aのmax.とすると、仮定からB⊗(A/m)≠0、よってB⊗(A/p)≠0です。さらにA/p→B⊗(A/p)は平坦でA/pは整域なので単射、よってk(p)→B⊗k(p)も単射でB⊗k(p)≠0です。

アルティン局所環のイデアル(0)は準素ですが、これは必ずしも既約とは限りません（この場合、(0)が既約⇔Aが入射的A加群⇔Gorensteinが示せます）

dimA=dimBとA→Bが有限であることから、A→Bは単射です（Specの間の射は支配的）。よってa∈m\m^2（m:Aのmax）に対してa倍はBに単射に作用します。従って平坦性の局所的判定法により、BがA上平坦であることはB/aBがA/aA上平坦であることと同値です。これを繰り返してAが体の場合に帰着します。（Auslander-Buchsbaumの等式の直接の帰結でもあります）

Mは有限表示なのでHom_A^(M^,N^)=Hom_A(M,N)^に注意するとφ:M^→N^はあるf:M→Nとm^Hom^に属するψによりφ=1⊗f+ψと書けます。φが全射なら中山より1⊗fも全射でA^は忠実平坦だからfも全射。φが同型ならφ^(-1)で同じことをして逆の全射を得ます。MがNoether加群であることに注意するとこれらがM,Nの間の同型射を与えることがわかります。

たとえば楕円曲線のアフィン座標環k[x,y]/(y^2-x^3+x)などを考えると、これは(ヤコビアン判定法などにより)正則環なので、全ての局所環はDVRか体(⇒UFD)ですが、因子類群の完全列からCl(=Pic)≠0がわかります。

有限な部分環の列A_0=A⊂A_1⊂…⊂C(A)、‪⋃‬A_i=C(A)をとります。⊗A^して、A^⊂A_1^⊂…を得て、さらにこれはA^の全商環(これは体の直積)の部分加群の列です。一方、完備局所整域の整閉包の有限整から、A^⊂A_1^⊂…という列は止まります。よってA⊂A_1⊂…も止まり、C(A)=‪⋃‬A_iは有限生成です。

一般に、正則局所環とその極大イデアルに対してこれは正しいです。このような離散付値環は、blow-upの後の例外因子の生成点での局所化として得られます。