理系大学生にしか解けない！？ #数学クイズ

ビュー数2775平均正答率61.3%全問正解率10.1%

正答率などの反映は少し遅れることがあります。

1. 完備な内積空間のことを何という？

• Hilbert空間
• Schwartz空間
• Sobolev空間

関数解析の問題です。L^2空間などが属します。

2. Delta関数の弱導関数は？

• Heaviside関数
• 高木関数
• Gamma関数

超関数の意味では、通常の意味で微分できない関数も微分できます。

3. 測度の定義域は？

• べき集合
• 完全加法族
• 有限加法族

測度はある条件を満たす完全加法族から[0,∞]への写像です。

4. 超関数の単純位相では、sin(nx)をn→∞とするといくつに収束するか？

• 収束しない
• 0
• π

通常の位相では収束しませんが、超関数の位相ではRiemann-Lebesgueの補題によります。

5. 次の中から正しい主張を選べ。

• 複素数全体で正則かつ有界な関数は定数と三角関数のみである
• 正則な複素関数の実部、虚部の関数はいずれも調和である
• 複素数全体で定義された正則な複素関数で台が有界なものが存在する

正則関数はCauchy-Riemannの関係式を満たします。それにより調和であることが示されます。

6. Lebesgue積分において、重積分の順序を交換できる定理を何という？

• Radon-Nikodymの定理
• Fatouの補題
• Fubiniの定理

可積分なら積分の順序交換ができるという定理です。

7. 実数上で局所可積分でない関数はどれか？

• x
• e^x
• 1/x

Compact集合が0付近を含むと発散してしまいます。

8. 次の中から正しい主張を選べ。

• 調和関数は必ず内部で最大値をもつ
• 熱方程式の解は時間が経てば0に収束する
• 波動方程式の解は必ず滑らかになる

物理的にも熱を加えたあと放置すれば冷める様子が分かります。

9. Bessel関数J_αの性質として正しいものを選べ。

• αが整数ならば初等関数で表せる
• ある2階微分方程式の解である
• J_αとJ_-αは一次独立である

Besselの微分方程式の解がBessel関数です。

10. 一様有界かつ同程度連続な関数列には一様収束する部分列が存在するという定理を何という？

• 有界収束定理
• Bolzano-Weierstrassの定理
• Ascoli-Arzelaの定理

関数解析の問題です。上記の条件は必要十分条件です。

理系大学生にしか解けない！？ #数学クイズ

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