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逆数学完全理解者しか分からない！ #逆数学クイズ
古典的な二階算術の逆数学の事実に関して集めてみました．基本的にRCA_0上での同値性を考えてください．
ビュー数897平均正答率53.8%全問正解率7.7%
正答率などの反映は少し遅れることがあります。
1. 命題論理に対する完全性定理，「任意の付値で真ならば証明可能」は
- RCA_0上，Π^1_1-CA_0と同値
- RCA_0上，WKL_0と同値
- RCA_0上，ACA_0と同値
2. 代数学の基本定理，「任意の複素多項式は一次式の積に定数倍を除いて一意に分解される」は
- RCA_0上で証明可能
- RCA_0上でWKL_0と同値
- RCA_0上でACA_0と同値
3. Riemannの写像定理，「任意の空でない単連結な複素数の真開部分集合Uに対しUから単位開円盤への双正則写像は存在する」は
- RCA_0上ACA_0と同値
- RCA_0上ATR_0と同値
- RCA_0上WKL_0と同値
4. Cantor–Bendixsonの定理「Baire集合N^Nの任意の閉集合は完全閉集合と可算集合の和で表せる」は
- RCA_0上ACA_0と同値
- RCA_0上ATR_0と同値
- RCA_0上Π^1_1-CA_0と同値
5. 可算整列順序の比較可能性定理「可算整列順序X,Yに対しXがYの始切片と同型であるか，XがYの始切片と同型であるか，XがYと同型である」は
- RCA_0で示せる．
- RCA_0上ATR_0と同値
- RCA_0上ACA_0と同値
6. 可算生成MF空間は以下のように定義される．可算生成MF空間Aがある可分完備距離空間と同相になることAが正則であることは
- ACA_0上Π^1_1-CA_0と同値
- RCA_0上Π^1_1-TI_0と同値
- Π^1_1-CA_0上Π^1_2-CA_0と同値
7. 可算Hilbertの基底定理「可算Noether環上の一変数多項式環はNoether環である」は
- WKL_0で証明可能
- RCA_0上でω^ωの整列性と同値
- RCA_0上で「xが整列順序ならω^xも整列順序である」と同値
8. Goodsteinの定理「任意のGoodstein数列は停止する」は
- ACA_0の無矛盾性と同値
- RCA_0上でACA_0の一様Σ_1-反映原理と同値
- WKL_0で示せる．
9. Σ^0_5-ゲームの決定可能性は
- Π^1_3-CA_0で証明可能である．
- 二階算術では証明できない
- Π^1_2-CA_0+Π^1_∞-TI_0で証明可能である．
10. 自由集合変数を含む算術的な帰納的定義の不動点が存在する，∀X∃Y∀n[n∈Y⇔A(n,Y,X)]，ただしAはYが正な一階の論理式とする，は
- ACA_0で証明できなくATR_0で証明可能だがATR_0と同値ではない
- ATR_0で証明できなく上Π^1_1-CA_0で証明可能だがΠ^1_1-CA_0と同値ではない
- ACA_0上ATR_0と同値
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