解析+α の数学知識クイズ #解析数学知識クイズ

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正答率などの反映は少し遅れることがあります。

1. 虚数単位i の定義は？

• −1の平方根
• 素数の素因数
• 三角関数の特異点

√(−1) = i で表されます。

2. 「a+bi」の複素共役は？

• −a+bi
• a−bi
• −a−bi

ある複素数とその共役複素数はガウス平面において、実軸を対象軸とした線対称になります。

3. オイラーの公式で存在しない定数は？

• 円周率 π
• ネイピア数 e
• 虚数単位 i

オイラーの公式は e^θi = cosθ + isinθ で表します。e^πi = −1 はオイラーの等式です。

4. 複素対数を扱う上で注意すべきものは何ですか？

• lim(R→∞)logR が収束する
• 周期性がある
• log0 が存在する

2nπi(nは任意の整数)で周期する性質があります。そのため主値を利用することが多いです。

5. ∫c 1/z dz の解は？ (ただし∫cは周回積分とする)

• log |z| + 積分定数
• ∞
• 2πi

1/zの周回積分は複素解析において基礎的なものです。

6. ローラン展開とは何か？

• テイラー展開の中心を特異点にできるようにしたもの。
• テイラー展開の微分部を積分に置き換えたもの
• テイラー展開の中心を無限遠点にできるようにしたもの。

1/z は0を中心としたテイラー展開が出来ません。それを可能にしたのがローラン展開です。

7. 領域Dで正則な関数fとgが少しでも同じであればDの中ではf=gと言える。この定理の名は？

• コーシーの還元定理 Cauchy's reduction theorem
• 正則定理 Holomorphic theorem
• 一致の定理 Identity theorem

この定理により関数の定義域を拡張することを解析接続といいます。

8. F(f*g) = F(f)･F(g) (F()=フーリエ変換) 上の式を成り立たせる「畳み込み(f*g)」を選べ

• (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t-τ) dτ
• (f*g)(t) = ∫ 1/√(k−f(t)g(t)) dk
• (f*g)(t) = ∫ f(t)g(e^-st) ds

正解は「(f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t-τ) dτ」です！

9. モジュラー形式の条件の式 f({az+b}/{cz+d}) =(cz+d)^(k)･f(z) においてkを何と呼ぶ？

• 重さ
• 助関数
• 長さ

楕円曲線と呼ばれるものがモジュラー形式である事がフェルマーの最終定理のカギでした。

10. リーマンゼータ関数 ζ(s) = ∑∞ n=1｛ 1/(n^s) ｝ において ζ(0) ζ(1) ζ(-1)の解は？

• ζ(0)=−1/2 、ζ(1)=∞、ζ(-1)=−1/12
• ζ(0)=−1/12 、ζ(1)=2、ζ(-1)=∞
• ζ(0)=∞ 、ζ(1)=2、ζ(-1)=−1/12

ζ(1)は調和級数と呼ばれる代表的な発散級数です。他の2つは発散するように見えて、実はある面では収束している珍しい級数です。

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